Fall í línu

„Það er ekki fallið sem drepur, heldur lendingin.“

Kraftfræði falls

Það er ýmislegt sem hafa þarf í huga þegar kraftar eru skoðaðir. Þegar einhver hangir í línu er krafturinn bara þyngd viðkomandi en þegar einhver fellur í línuna er krafturinn meiri. En hversu mikið meiri, og af hverju?

Venjulega er kraftur settur fram sem margfeldi massa og hröðunar:

\[ F = ma \]

Við yfirborð jarðar er svo þyngdarhröðunin \(g = 10 \textrm{ m/s²}\) (í raun 9,8 m/s² en þetta er nógu nærri lagi) svo þyngd(arkraftur) hlutar með massann \(m = 100 \textrm{ kg}\) er þá

\[ F_{þyngd} = 100 \textrm{ kg } \cdot 10 \textrm{ m/s² } = 1000 \textrm{ kg m/s² } = 1000 \textrm{ N } = 1 \textrm{ kN } \]

Krafturinn er aftur á móti meiri þegar einhver fellur í línu vegna þess að þá verður hann að breyta hraða viðkomandi niður í núll. Ef það tekur tímann \(t\) að hemla hraðann úr \(v\) niður í núll verður krafturinn:

\[ F = m \frac{v}{t} \]

Falli einstaklingur með massann \(m = 100 \textrm{ kg}\) á hraðanum \(v = 10 \textrm{ m/s}\) í línu sem tekur tímann \(t = 0,1 \textrm{ s}\) að hemla viðkomandi er krafturinn þá:

\[ F = 100 \textrm{ kg } \frac{10 \textrm{ m/s }}{0,1 \textrm{ s }} = 10.000 \textrm{ kg m/s² } = 10.000 \textrm{ N } = 10 \textrm{ kN } \]

Sem er vel innan við mörk flestra klifurlína. En til að sjá hversu raunsætt slíkt fall er er betra að skoða hvernig hraðinn ákvarðast af falltímanum, \(T\). Hraðinn er þá \( v = g T \) sem þýðir að

\[ F = m g \frac{T}{t} \]

Þetta má umrita sem

\[ t = \frac{m g}{F} T \]

svo ef einstaklingur sem vegur \(1 \textrm{ kN}\) fellur í 1 sekúndu í línu sem þolir ekki meira en \(20 \textrm{ nN}\) verður hemlunin að taka meira en

\[ t = \frac{1 \textrm{ kN}}{20 \textrm{ kN}} \cdot 1 \textrm{ s} = 0,05 \textrm{ s} \]

Hlutföll vegalengda

Þetta má svo einnig setja upp út frá vegalengd: Á tímanum \(T\) hefur viðkomandi fallið vegalengdina \(H = \frac{1}{2}gT²\) og ef línan gefur hröðunina \(F/m\) yfir vegalendina \(s\) þá tekur hún tímann \(t = \sqrt{\frac{2sm}{F}}\) svo

\[ \sqrt{\frac{2sm}{F}} = \frac{m g}{F} \sqrt{\frac{2H}{g}} \]

Hefjum þetta í annað veldi:

\[ \frac{2sm}{F} = \left(\frac{m g}{F}\right)^2 \frac{2H}{g} \]

og einföldum:

\[ s = \frac{m g}{F} H \]

Svo að á sama hátt og með tímann þarf einstklingur sem vegur \(1 \textrm{ kN}\) og fellur 5 metra að hægja á sér á meira en:

\[ s = \frac{1 \textrm{ kN}}{20 \textrm{ kN}} \cdot 5 \textrm{ m} = 0,25 \textrm{ m} = 25 \textrm{ cm} \]